2025を使った入試予想問題

こんにちは。中学受験コース算数科です。

来年は西暦「2025」年。
今年も年の瀬の話題として「西暦」問題をお届けします。

1. 西暦2025年

まずは「2」「0」「2」「5」という数字に着目して･･･

2. 算数では定石の「素因数分解する」ということ

素因数分解とは「正の整数を素数の積の形で表す」ことを言います。
2025を素因数分解するとどうなるでしょうか。

素因数分解をするときに、次のようなステップで検討を進めていきます。

STEP１　 素数を順に書き出してみる

STEP２　2から順に2025を割ってみる

STEP３　 順に割り算していき、割り切れた場合の商をさらに素因数分解していく。

そして、最後に商が素数になった時点で終了です。

⇒2025を素因数分解すると、3×3×3×3×5×5

～解き方のヒント～

1. 2025は，同じ数を2回かけた数(算数では平方数，四角数と言います)であることは，2025年度受験生は常識にしておきたいですね。
2. すべて書き出してみます。2025の約数(割り切ることができる整数)は、かけ算の答えが2025となる式を書いていきます。

   1×2025、3×675、5×405，9×225，15×135，25×81，27×75，45×45

   ⇒2025の約数は1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 135, 225, 405, 675, 2025の15個ある

   個数だけならば，次のように計算で求めることも可能です。素因数分解
   3⁴×5²
   の指数に注目し、
   (4+1)×(2+1)＝15個
   と求めることもできます。
   「約数の個数が15個となる最小の整数を求めなさい」などの出題も予想できますが，「144」が答えとなり，難易度が少々高くなります。

3. 分数分解

2025を「20」と「25」と分解してみることで、次のような典型問題も考えられます。
「分数分解」とは、

1 1×2 = 1 1 – 1 2

1 2×3 = 1 2 – 1 3

など、分解して立式することで計算の工夫につながる話題です。
例えば、次のような計算をするとき、上の性質を活用することですぐに答えが求まります。

1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…+ 1 20×21
= ( 1 1 – 1 2 ) + ( 1 2 – 1 3 ) + ( 1 3 – 1 4 ) +…+ ( 1 20 – 1 21 )
= 1 1 – 1 21
= 20 21

4. 定番の問題

　算数の単元名の中で「周期算」というものがあります。あるきまりで数字や記号がならべられていて、そのＮ番目が何であるのかを調べたり、Ｎ番目までの数字を和を求めるといった問題です。
下記の問題は、数字が「2025」になることで特別な技術が必要になるわけではありませんが、小問系の問題の中で出題が予想されます。

5. ～2025特別問題～

問題2で触れました通り，2025が「平方数」であることや、素因数分解が「3×3×3×3×5×5」となる性質を活用する問題として、九九表が題材になることが予想されます。

6. 最後に…

算数では、西暦に関連する問題が出題されることがあります。今回は、その一部をご紹介しました。

受験生は「2025＝45×45」，「九九表にある81個の数字の和が2025」などは，知っておいた方がよさそうです。
中学受験コースでは本年度も「西暦に関連する予想問題」を冬期講習中に学習します。

最後までお付き合いいただき、ありがとうございます。
みなさま、良いお年をお迎えください。そして2025年もどうぞよろしくお願いします。

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